什么是拉普拉斯变换？一文讲清

所谓的拉普拉斯变换，就是把一个空间域内的函数变换到一个新的函数在频域内的结果，拉普拉斯变换最常用于信号处理及图像处理，是利用线性时变系统建立的一种数学变换，也可以看作是特殊形式的傅里叶变换的一种。在现实应用中，拉普拉斯变换扮演者一个重要的角色，可以在空间域与频域之间实现信号的双向转换，能够用于处理一些图像处理，特别是模糊图像的处理。
一、定义
拉普拉斯变换是一种数学变换，把空间域内的一个函数变换到频域内的另一个函数。它的定义式为：
$$
L(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot (-1)^n \cdot \frac{d^n}{dt^n} \delta(t-x) \; dt
$$
在拉普拉斯变换中，狄拉克函数$\delta(t-x)$是把$f(x)$在坐标上变换到另一个，基于$\delta$函数，可以有$L[f(x)] = f''(x)$。拉普拉斯变换把信号的空间函数转换为频域上的函数，使用不同的函数可以把原输入信号映射到一个频域函数，这个频域函数表示了输入信号在频率空间上的分布情况。
二、拉普拉斯变换的基本属性
拉普拉斯变换具有非常好的时间属性，它把函数从时域完全变换到频域，其结果纯粹是一个频域函数，比如，若$f(t)$是有限函数，则$F(t) = [\mathcal L \times f(t)]$是完全的频域函数。表示拉普拉斯变换的表达式$\mathcal L$又称为拉普拉斯算子或拉普拉斯变换操作算子，其运算满足交换律及线性性。
三、拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换在实际应用中是非常重要的工具，它可以在空间域和频域之间实现信号的双向转换，在加快精确分辨操作的同时，也可用于消除模糊图像，精确的检测图形边界。
拉普拉斯变换广泛应用于数字图像处理，可用于去噪处理，图像分割，图像边缘检测，图像模糊处理，图像的特征提取等方面。
此外，拉普拉斯变换还可以用在信号处理方面，例如可以用于破译密码，信号噪声的逆系统分析，为滤波器设计提供一种新的结构，它能有效地减少计算量。拉普拉斯变换另外还应用于诸如计算机视觉、自然语言处理和生物信息处理等领域。
四、拉普拉斯变换的数学原理
拉普拉斯变换可以看作是特殊形式的傅里叶变换，可以在空间域和频域之间实现信号的双向转换。它是利用线性时变系统建立的一种数学变换，是从微分方程出发求函数傅里叶变换的一种专用形式，它是傅里叶变换的一种特殊形式。
若$X(s) = F[x(t)]$是某一函数$x(t)$的傅里叶变换，则$\frac{s \cdot X(s)}{s} = F[\frac{d x(t)}{d t}]$